ハドコピくんを起動したのですが、オプション画面や印刷確認ダイアログボックスの文字が化けています。どうすればよろしいのですか。

これは、Microsoft VisualBasic(VB)のランタイムがセットアップされていないのが原因です。正確にはVBの日本語パッケージがセットアップされていないというところでしょうか。
ベクターや窓の杜などでVBのランタイムを入手し、セットアップするか、ハドコピくんランタイム同梱版セットアップをダウンロードしてセットアップしてください。以後、日本語が正常に表示されるはずです。

WindowsVISTAやWindows8などで使用すると、作業時に選択する「領域指定」の文字が画面上に薄く半透明の状態で残ってしまいます。

おそらくWindowsVista以降、メニューを選択後、選択した項目がフェードアウトしている最中に範囲指定の処理になっているからだと考えられます。

対応方法としましては、ハドコピくんのオプション>セルフタイマーにチェックを入れ、秒数に1秒程度を設定すれば、この現象は回避されると思います。

Windows8でも動作するの?

当方のWindows 8.1 Professional(64ビット版)で動作しておりますので、大丈夫でしょう!

ヘルプが表示されない。

かつてのWindowsヘルプファイルは、Windows7以降、初期の環境では読むことができなくなりました。
「Windows XX用 Windows Help プログラム」(XXにWindowsのバージョンを指定する)などで検索してみて、マイクロソフトのウェブサイトからヘルプファイルを閲覧するためのプログラムを入手することにより、閲覧できるようになります。
例えば、Windows 8.1用でしたらこちらです。
※Windowsのバージョンによって配布物が異なるようですのでご注意ください。(8と8.1でも違いました。)